Ensenyar les equacions en educació primària i secundària sempre ha estat tot un repte, però amb aquesta formació tindràs totes les eines didàctiques perquè el teu alumnat aprengui de manera profunda i divertida.

Abans de començar amb les equacions a JUMP Math, cal tenir en compte un punt molt important:

La verticalitat: En matemàtiques no es tracta del que dono al curs, sinó de tenir una perspectiva vertical i saber d’on venen els estudiants i on van. Aquesta perspectiva, que pot abastar des d’Infantil fins a Batxillerat, ajuda a comprendre com es van encadenant els conceptes i el procés pren molt més sentit.

El sentit algebraic

Àlgebra o pensament algebràic

Quan pensem en àlgebra pensem en incògnites, lletres, variables i que allà comença l’àlgebra. Tanmateix, més que no pas parlar d’àlgebra, hauríem de parlar de pensament algebraic. Som capaços de pensar algebraicament quan, entre moltes altres coses, podem expressar de forma general les relacions en lloc de referir-nos als objectes concrets que s’hi relacionen. Això, en molts casos, suposa el pas del sentit numèric al sentit algebraic.

El pensament algebràic implica representar, generalitzar i formalitzar patrons i regularitats a qualsevol àrea de les matemàtiques.

Què diuen els experts? – Les equacions a JUMP Math

El National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) diu que hem de començar a treballar l’àlgebra des d’Infantil, ja que la recerca dels patrons o de la generalització és una cosa que es pot començar a treballar des de la primera infància, adaptant-se i adequant-se a les característiques específiques del desenvolupament evolutiu de l’alumnat. Tot i que no es pot treballar l’àlgebra formal en quant a llenguatge, es pot treballar utilitzant materials manipulatius. A mesura que l’alumnat es troba més immers en això, l’àlgebra formal va guanyant més espai dins de l’ensenyament de les matemàtiques.

Què diu la LOMLOE? – Les equacions a JUMP Math

La LOMLOE diu que l’àlgebra proporciona el llenguatge en què es comuniquen les matemàtiques.

També engloba els sabers relacionats amb el reconeixement de patrons i les relacions entre variables, l’expressió de regularitats o la modelització de situacions amb expressions simbòliques.

Què diu JUMP Math?

JUMP Math coincideix amb els experts de la NCTM quant a que el pensament algebraic es comença des de les primeres etapes, però introdueix el seu llenguatge formal a 4t de Primària.

El vocabulari és important!

Per exemple, és fonamental el treball de les igualtats als cursos inferiors perquè comprendre’l igual farà que comprenguin millor les equacions.

És important anar precisant el vocabulari per facilitar a l’alumnat l’entesa de les equacions.

• Igualtat matemàtica: És un enunciat que té dues expressions equivalents separades per un signe igual. També es pot establir una igualtat matemàtica numèrica. Per exemple: 3+5 = 7+1.
• Equació: Igualtat matemàtica que només es compleix per a alguns valors de la variable.
• Incògnita: Lletra o símbol que hem de descobrir i compleix una condició.
• Variable: Lletra o símbol que pot prendre diversos valors numèrics.

El llenguatge algebraic

Aprendre àlgebra també és aprendre un nou llenguatge, on poden aparèixer lletres o símbols que em diuen que hi ha una cosa desconeguda.

Els estudiants poden resoldre aquest tipus d’activitats, sense pensar en si és una equació o no, ja que el prenen com si fos un trencaclosques. Això ajuda a treballar i engegar el pensament algebraic, el raonament i la prova que la LOMLOE demana treballar.

Quan es construeix el llenguatge es comença pel sentit numèric i el sentit numèric transita cap al sentit algebraic. Si l’estudiant comprèn que 4+3=7, aleshores podrà trobar el nombre que compleix la següent equació: 4+x=7

Així es treballa el sentit numèric des del llenguatge, introduint paraules com ara: més que, menys que, augmentat, dividit, afegit a, etc. que després apareixeran als exercicis d’àlgebra.

Donem el salt a l’expressió algebraica, aritmètica generalitzada

A l’exercici anterior es proposa a l’estudiant resoldre diferents sumes com:

5+2, 5+3, 5+7 fins a fer el salt a l’aritmètica amb 5+n. Si directament s’utilitzen les lletres, els estudiants no podran trobar el patró d’establir que hi ha 5 membres de la família i se sumen els convidats.

Així de mica en mica, van apareixent les fórmules.

Comprendre expressions algebraiques amb significat

Quan ja s’és capaç de construir expressions algebraiques, és important que aquestes expressions algebraiques tinguin un significat, perquè l’estudiant no escrigui fórmules sense entendre què significa cada element de la fórmula.

A l’exercici anterior es pot veure que l’equació 5h+4 és 5 euros per cada hora més una tarifa fixa de 4. Tot i que per als adults això pot semblar evident, per als estudiants no ho és. Per això, des de JUMP Math busquem que hi hagi processos directes i processos inversos.

• Procés directe: Construir la fórmula.
• Procés invers: Donada una fórmula, la comprenc.

És important fer els dos camins perquè l’alumnat entengui què vol dir la fórmula.

Quan l’estudiant li ha donat significat, podem avançar a fer servir les lletres amb una intenció. Ara l’estudiant ha descobert que pot fer servir lletres i que gràcies a això pot escriure qüestions de forma general.

Per exemple:

Àrea del paral·lelogram = base x altura (A = b x h) és una fórmula que s’aplica per a qualsevol rectangle sigui quina sigui la seva base i la seva altura i no per a un en concret.

D’aquesta manera, si voleu calcular el valor de l’àrea, només cal saber quant val cada variable i, així substituir i trobar el valor de l’àrea. Aleshores si b=2m i h=5m, l’estudiant substitueix les lletres pels nombres i resol que 2m x 5m = 10m².

És important que els estudiants vegin que la possibilitat de fer servir lletres és el que permet escriure relacions de forma general.

Si atenem la proposta de la LOMLOE, comprovem que se’ns convida a establir connexions entre els diferents sentits matemàtics. Per això, plantejar qüestions d’àlgebra en contextos geomètrics pot resultar molt enriquidor.

El llenguatge matemàtic es fa necessari per generalitzar

És important que els alumnes tinguin necessitat dels coneixements matemàtics perquè així l’interès pels mateixos està assegurat. Per això hem plantejat el joc següent:

És casualitat que el resultat per a tothom sigui 3? No. L’àlgebra ens permetrà comprovar-ho.

En fer servir aquest tipus d’exercicis els estudiants d’alguna manera creuen que estàs “endevinant” i així descobriran que allò que permet “endevinar” és precisament l’àlgebra.

Hi ha dues maneres de formalitzar això: de manera pictòrica o de manera simbòlica.

Això es pot treballar amb estudiants de diferents edats depenent de l’etapa i el curs on s’imparteix. Per a estudiants més petits es treballa de manera pictòrica i per a estudiants més grans es treballa de manera més simbòlica.

Resolució d’equacions

Conceptes previs

A les següents activitats, no apareix cap equació. No obstant això, hi ha conceptes previs fonamentals per preparar-los per treballar les equacions.

• Propietat d’operacions: Si l’estudiant no té clara la propietat d’operacions, pot ser que l’estudiant en l’exercici 5 + 2 x 3 sumi el 2 amb el 5 sense haver-se adonat que prèviament ha de multiplicar. El mateix passaria davant de 2+3x, dirà que són 5x.

• Concepte d’igualtat: Si l’igual sempre el fem servir com a resultat, els estudiants no entenen que 7 + 3 = 10 és una igualtat, sinó que 10 és un resultat. Per això és tan important expressar les formes de totes les maneres possibles.

• El que és i el que no és: Ensenyar què és i què NO és una equació, fa que els estudiants es facin una idea completa del que això significa.

Per exemple, encara que 9 = 4 + 5 sí que és una igualtat, no és una equació perquè no hi ha una incògnita per resoldre.

7 – 5x, encara que hi ha una incògnita no és una equació perquè no hi ha una igualtat.

2 – x = 4 és una equació perquè sí que hi ha una incògnita i una igualtat a resoldre.

La construcció de les equacions

JUMP Math planteja 3 etapes que eviten les rutines mecàniques que fan que els estudiants memoritzin sense entendre. Al seu lloc es busca que comprenguin el que estan fent i això produeixi un aprenentatge significatiu.

• EL CONCRET: Allò manipulatiu, allò que es pot tocar. Es pot treballar des d’infantil utilitzant els braços com si fossin balances, balances de platerets, caixes amb objectes, fitxes per a positius i negatius, generant equacions senzilles com: Dues fitxes és igual a dues caixes. Fer servir tot allò que és manipulatiu fa que els estudiants treballin des del concret la construcció d’equacions.
• EL PICTÒRIC: Es produeix a través de la representació. Es pot fer de 3 models diferents:

• EL SIMBÒLIC: Els estudiants ja passen a escriure amb llenguatge algebraic. Operen amb les lletres i els nombres.

Si vols saber més sobre com treballar-ho, pots veure la formació “Les equacions de JUMP Math” a l’apartat d’Enregistraments.

Problemes de cintes i taules

L’apartat b) de l’activitat serveix per introduir amb nombres el que farem després amb lletres. Aquest tipus de feines: més què, menys què, diferència, prepara l’alumnat per als problemes algebràics que hauran de resoldre després.

A l’exercici 1, la idea de “La Isabel té 4 vegades més adhesius que la Clara” dona a entendre que cal multiplicar els adhesius de la Isabel. Tot i això, un punt molt important és que si es volgués igualar la Isabel i la Clara, no cal multiplicar la Isabel, sinó la Clara i entendre això pot resultar molt dificultós per als estudiants.

D’altra banda, problemes que apareixen de forma simbòlica, es poden resoldre plantejant una representació pictòrica basant-se en les balances, les cintes i que permetin a l’alumnat comprendre’l millor.

Connexions

És molt important situar les equacions en tots els contextos que puguem.

• Context geomètric: Es pot adaptar a aquest context amb situacions senzilles que permeten entendre que l’àlgebra també serveix per a la geometria. És una manera que els estudiants se sentin segurs amb les equacions i de connectar els sentits que demana la LOMLOE.

• Context aplicat a la vida quotidiana: Plantejar problemes de la vida real on l’àlgebra permet treure’n conclusions.

Això posa l’alumnat en un context de resolució de problemes en què les equacions permeten respondre totes les qüestions que es plantegen.

Resum

• Sentit algebraic: Té a veure amb el pensament algebraic que és aquell que permet generalitzar i trobar regularitats.
• Construcció del llenguatge: L’àlgebra també és un llenguatge que cal aprendre.
• Comprendre les equacions: Per poder comprendre les equacions cal manipular, representar i, finalment, expressar-les en forma simbòlica.
• Resolem problemes: Gràcies a les equacions, puc resoldre problemes.
• Establir connexions: Només comprenc les equacions de manera global si les treballo en els diferents sentits.