Prepara’t perquè l’alumnat de l’any que ve s’assabenti dels enters des del minut 1. No més drames amb els nombres negatius! Comencem…

Per què són importants els enters?

1. Requereix tenir coneixements previs sobre nombres naturals:

• Cal que l’alumnat sàpiga situar-los a la recta real.
• Saber comparar i ordenar.
• Saber fer operacions.

2. Són essencials per a altres continguts:

• Càlcul amb racionals i irracionals.
• Treball amb monomis.
• Resolució d’equacions, inequacions i sistemes.
• Treball amb funcions, situar punts als eixos de coordenades.

Aquests són continguts que es veuen al llarg de la secundària i batxillerat i que es recolzen directament en allò après en els nombres enters.

3. És el tema nuclear a primer cicle d’ESO:

• Cal una feina profunda.
• “Menys per menys és… menys”. Aquest tipus de frases impedeixen un bon aprenentatge. La mecanització fa que els estudiants no entenguin realment el que estan fent, que no siguin capaços d’argumentar els seus propis raonaments i se’ls està ensenyant que les matemàtiques són una mena de “màgia” que si l’apliques t’anirà bé. Això fa que no sàpiguen on s’estan equivocant.

Què porten de nou els enters?

És important, cada vegada que apareix un nou conjunt numèric a classe, preguntar-se: “què aporta aquest nou conjunt que no aportaven els conjunts numèrics que es treballaven?, en què són diferents?, en què són iguals?, ¿quines estructures es mantenen i quines no?” perquè aquesta reflexió permeti comprendre que en algunes coses s’assemblen al conjunt anterior, però en altres coses no.

Apareix un nou conjunt numèric, no és res!

1. Oposat:

-Permet representar realitats contràries. L’alumnat podrà representar, per exemple, quan alguna cosa es troba sobre el nivell del mar, però també quan alguna cosa es troba sota el nivell del mar.

–Quantitats amb signes positius i negatius. Quan es treballen únicament els nombres naturals no calia posar el seu signe corresponent, però ara sí.

-Tot nombre té el seu oposat.

2. Representació:

• Cal tota la recta real per poder representar els oposats.

• Nombres oposats són simètrics respecte al zero. Aquesta simetria permet comprendre els nombres oposats des d’una altra perspectiva.

3. Valor absolut:

• Si dos nombres tenen el mateix valor absolut poden ser el mateix o ser oposats. Abans, amb els nombres naturals, si dos nombres tenien el mateix valor absolut, eren exactament el mateix nombre. Ara podrà ser el mateix nombre o el seu oposat.

• Tenir més o menys valor absolut no determina si el nombre és més gran o més petit. Amb els nombres naturals, si un tenia més valor absolut que un altre, significava que el nombre era més gran. Ara, amb la incorporació dels nombres negatius, això ja no és així.

4. Comparació i ordre:

• Un nombre pot tenir més valor absolut que un altre i no obstant estar a l’esquerra a la recta real (tots dos negatius).

5. Descomposició en suma:

• Cada nombre es pot descompondre com a dos sumands d’infinites formes. Al contrari dels nombres naturals que cada nombre es pot descompondre com a suma de dos sumands una quantitat finita de vegades.

6. Operacions:

• En sumar dos nombres, el resultat pot ser menor i en restar pot ser més gran.

• Puc restar-li el nombre més gran al més petit.

• En multiplicar, el resultat pot ser menor i en dividir, més gran.

Nous (clàssics) contextos dels enters

Són nous ja que amb els nombres naturals no es podien representar, però alhora són clàssics perquè són exemples comuns a classe.

Resolució de problemes. Representar per solucionar.

Els alumnes estan tan acostumats que per resoldre problemes cal fer operacions que moltes vegades representen si els ho demanes però després no fan servir aquesta representació per resoldre el problema. És fonamental fer un treball específic de com puc fer servir la representació per obtenir la resposta que busco.

Altres contextos: quantitats que s’anul·len

Altres contextos diferents on la representació a la recta real no ens ajuda tant serien els contextos on les quantitats s’anul·len com quan parlem de diners, de pèrdua, de guany, de punts, de saldos, etc…aquí és millor fer servir els models que veurem a continuació de càrregues positives i negatives.

Quan s’anomenen oposats?

Dos nombres es denominen oposats entre si, quan tots dos estan a la mateixa distància de 0 però en sentits contraris. Podem aprendre com funcionen els oposats fent-los diferents preguntes:

• Quin és l’oposat de -3?
• En què són iguals els nombres oposats?
• En què són diferents a l’hora d’escriure’ls?

Exercicis de raonament i prova: Aquests exercicis són interessants ja que els estudiants poden veure que si 4 és menor que 7, llavors automàticament podré saber que – 4 és més gran que – 7.

Exercicis inversos: L’estudiant pot veure que si posa un més, no es complirà però si afegeix un -, sí que es compleix.

Els oposats també es poden entendre manipulant:

Les 4 operacions

Sumar nombres enters

• Conjectura 1: Pèrdues i guanys.

• Conjectura 2: Determinar el resultat total d’una pèrdua i un guany.

• Conjectura 3: Determinar el resultat total de dos guanys i dues pèrdues.

En aquests tipus d’activitats, s’estan sumant nombres enters sense la idea de fer operacions, sinó més aviat en contextos on els estudiants de manera natural poden arribar al resultat.

Passos per treballar amb nombres enters

• Fem servir material manipulatiu: Fitxes vermelles i blaves. Amb elles es poden realitzar tota mena d’activitats:

Aleshores el signe + representarà guany o càrrega positiva. I el signe – representarà pèrdua o càrrega negativa.

És important donar exemples on els estudiants puguin veure que és igual si les càrregues positives estan per davant o per darrere perquè l’important és quantes tenen.

• Representem: Sumar nombres enters a la recta numèrica.

Se sumaran nombres enters relacionant-los amb el moviment.

Ambdues representacions són molt importants perquè és una manera d’aprendre el mateix de diferents maneres i així s’atén la diversitat alhora que s’afavoreix que l’alumne tingui una comprensió més global del concepte que estem tractant.

• Operem simbòlicament: Fem servir diferents mètodes.

Quan el que cal sumar són més de dues pèrdues o més de dos guanys hi ha diferents mètodes:

Aquests mètodes no han de ser necessàriament successius, sinó que es poden combinar.

Restar nombres enters

Itinerari de la resta:

• Comencem restant positius entre si o negatius entre si, perquè aquesta resta s’assembla molt als nombres naturals respecte al concepte de “treure”.
• Aprenem a escriure els nombres de moltes maneres. Com dir sense dir? Es pot dir 3 o 4+(-1).
• Afegim càrregues neutres.

Restar nombres amb el mateix signe.

En aquests casos és molt important el llenguatge, ja que generalment quan els estudiants tenen dificultats és perquè estan pensant en operar, en lloc de pensar en càrregues negatives i càrregues positives. Ser clars en el llenguatge facilita la comprensió de l’activitat.

Per això és important que tinguen una representació tant manipulativa com pictòrica prèvia a la representació simbòlica.

Representar el mateix nombre de moltes maneres.

Restar nombres de signe diferent

Això és el que més els costa als estudiants perquè no es pot entendre com he de treure una càrrega negativa si només tinc càrrega positives. Per tant, el que hem de fer és expressar el nombre d’una nova forma de manera que sí que hi hagi càrregues negatives per treure.

El 3 es pot expressar com a 3 càrregues positives, però també es pot expressar com a 4 càrregues positives i 1 negativa.

Resta de nombres amb mateix signe però insuficient quantitat

Quan per exemple, tinc dues càrregues negatives i vull treure tres càrregues positives, se n’hi afegeixen 3 de neutres (tantes com vulgui treure) i llavors en quedarien 5 càrregues de negatives.

Procés invers

També podeu fer el procés invers: Escriure l’operació que està representada pictòricament.

Operem enters parèntesi, torna l’oposat!

Una altra alternativa és tornar a l’oposat i transformar totes les restes en sumes, ja que és una cosa que els estudiants saben fer bé.

Multiplicar nombres enters

Proposta 1: La multiplicació com a suma abreujada

És molt important no explicar res als estudiants que puguin construir i deduir. Aleshores el docent es dedicarà a oferir qüestions com si no sabés res, per veure què fan els estudiants.

Es pot partir de les multiplicacions de nombres naturals, que és una cosa que sí que saben fer.

Proposta 2: Model rectangular a x(-b) amb a x b

Quan jo multiplico a x b, allò que s’aconsegueix és l’àrea. Aleshores, podem començar a plantejar que si hi ha un rectangle de base 5 i altura – 3, doncs tindríem 15 d’àrea però a la part negativa i comprovaran novament la propietat commutativa de la multiplicació.

Proposta 3: Descobrir patrons

Una altra possibilitat és deduir les regles de la multiplicació gràcies a l’observació de patrons. A mesura que vaig multiplicant per un nombre més baix, el resultat va augmentant.

Això no és per haver dit a l’alumnat que -x – és +, sinó que ho van descobrint ells mateixos i van trobant el sentit.

Dividir nombres enters

Comprenem l’operació inversa. Famílies d’enters.

A l’hora de dividir, s’aplica com multiplicar.

Resum

• Els nombres enters són un tema central. Sobretot a la darrera etapa de primària i a la primera etapa de secundària, perquè fan de nexe entre molts continguts.
• És un nou conjunt numèric que cal conèixer com funciona i diferenciar-lo dels nombres naturals per diferenciar quines característiques es mantenen i quines no.
• Manipular i representar permet comprendre com funcionen. És fonamental començar manipulant i representant.
• Les operacions es poden fer des de diverses perspectives. Des de la perspectiva d’anul·lar quantitats, des de la perspectiva d’utilitzar la recta numèrica i el moviment, la cerca de patrons, etc.

Convé fer un aprenentatge profund. No un aprenentatge mecànic, perquè puguin raonar i entendre els per què. Per això és important plantejar-los des del descobriment i les diferents estructures i propostes. Que s’hagin d’enfrontar a reptes constants.